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05/05
2015年「第47回ミス日本コンテスト2015」が1月26日に行われ、東京大学の秋山果穂さんが、準ミス日本に選ばれたことが報じられました。

高校時代の模試でなんと偏差値93.7だったということが明らかにされ、周囲の驚きを呼んでいます。この信じられない得点を叩きだしたのは河合塾の東大即応オープン模試(2011年8月実施)です。高校は東京の私立桜蔭高校。開成や兵庫の灘高校と匹敵する秀才揃いの高校ですが、そんな名門校でも模試の偏差値が90以上というのはにわかに信じられない数字。
そこでこの偏差値を取るためにはどれほどの成績を出さなければならないかをちょっと計算してみました。

ここで「偏差値」というのはどういうものか?
入試などで「偏差値」はよく聞かれる言葉ですが、その数値の出し方を知っている人は案外少ないようでして、コロりんも興味もないこともあって、今回初めて調べてみたのです。
PCってのは便利なようで不便なものでして、特に数式の表現に弱い。紙に書けばサラサラと数秒で書けるものも作成するのに四苦八苦します。

そこで「keisan 生活や実務に役立つ計算サイト」から数式だけ図としていただきました。数学に著作権があるわけでもなく、これくらいはいいでしょう。
155052.jpg
えーとですね、左下の式が「分散」を求める式、右下が「標準偏差」。これくらいは知っている人も多いでしょうが、「偏差値」というのは上のTiとある式がそうです。Xiは平均、nはデータ個数、xに上線がついているのが平均との差です。

受験者全員の数値が分からないと偏差値も求めようがないため、ここでは簡単のため次のような事例を用意しました。
15505ミス

0点が100人。1点増すごとに2人ずつ減っていき、50点で0人になるように設定してあります。この場合、平均点は16.3点となります。そして受験者総数は2550人となります。この状態で100点満点を取ると…偏差値は94になります。ほぼ準ミス秋山さんに近い数字です。

2550人のうち、0点がもっとも多くて、平均わずか16点。しかも50点以上取った人が誰もいない状態でひとりだけ100点満点…。最初これを解析した時は「なにかの間違いではないか?」とさえ思いましたよ。

ところが過去の模試の結果では、時折偏差値90以上との数字が出るらしいんですね。もちろんこういう試験は平均点がきわめて低くなくてはあり得ません。満点を取っても届かないことだってあります。逆に理論上は偏差値に上限はないことにもなります。
この例でも本当の試験では低い平均点付近を山にした正規分布に近い得点となっており、秋山さんは飛び抜けて高い点を取った…ということでしょうが、モデルとして作りにくいので上のような場合を想定しただけです。

でもまあこの数字を見た時の驚きは「本郷猛の知能指数600」くらいなもんかと(笑)。
(15.5.5コロりん記)
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